Si la probabilité qu'un nouveau-né soit un garçon est de 0,52, quelle est la probabilité qu'il y ait moins de garçons que de filles dans 500 naissances?

Jovana Savic, passionnée de mathématiques

Appelons la probabilité d'avoir un garçon p, alors la probabilité d'avoir une fille va être (1-p).

Les moyens d’avoir moins de garçons que de filles sont de 251 filles et 249 garçons, ou 252 filles et 248 garçons, etc.

Je vais supposer que chaque naissance est unique. Cela signifie que le fait que la mère X donne naissance à une fille et reçoive une fille n’est pas la même chose qu’une fille qui a été mise au monde par la mère Y.

Commençons par le plus facile, à savoir que le nombre de garçons est égal à zéro et que le nombre de filles est de 500. Probabilité que la mère i, i = 0, ..., 500 va donner naissance à une fille (1- p) .C'est la même chose pour chaque mère, et les événements peuvent être considérés comme indépendants, de sorte que la probabilité d'avoir 500 filles nées est de (1-p) 500.

Maintenant, le cas d'avoir un garçon et 499 filles. Comme il y a 500 mères différentes qui peuvent donner naissance à un garçon, le reste donnera naissance à une fille. Pour cette raison, il existe 500 façons de choisir une mère qui a un garçon. Ce sont tous des événements disjonctifs, nous allons donc les ajouter. Cela signifie que la probabilité est 500p (1-p) 499.

Nous pouvons généraliser cela en se demandant quelle est la probabilité que k mères aient des garçons et que 500 mères auront des filles. Sur ces 500 personnes, nous devons choisir des mères pour donner naissance à des garçons. Le nombre de façons de faire est et dans chacun de ces cas, la probabilité d'avoir k garçons et filles de 500 k est.

La réponse est alors.

Maintenant que nous avons la formule de probabilité de la naissance de k garçons, nous devons ajouter tout cela. On peut donc dire que ce sont les cas de moins de garçons.

Cela signifie que la réponse est:

Mark Adler, Physicien, mathématicien, ingénieur électricien, scientifique des fusées, programmeur informatique
Résolu le 7 novembre 2017 · L'auteur a 566 réponses et 1.2m répond à ses questions

Comme l’a noté Jovana Savic, c’est:

avec

Ce nombre est:

162034151911831080743472382730071951597662294642210422556479040950944570575455796195288186086814319680704661412565659509444431337221178621064149667336483945607527885959705329342321119865907025727495194569127065045632652299649681210963974455167854893509694808233361136840370284739693295190733655158774926841926398581357257646938512199709569408531193754284876711302352109141637407579163281439263144277227555835741475177952177718593308770480343013918290317912945289919121999675571025394704874201572902072471099627025867825843364367543299840006922476917213571708773752624664848783518770904607857594094103800679871545773176391267001426814323751028709953451411399584278765265993802161825044439133293903872

divisé par:

933263618503218878990089544723817169617091446371708024621714339795966910975775634454440327097881102359594989930324242624215487521354032394841520817203930756234410666138325150273995075985901831511100490796265113118240512514795933790805178271125415103810698378854426481119469814228660959222017662910442798456169448887147466528006328368452647429261829862165202793195289493607117850663668741065439805530718136320599844826041954101213229629869502194514609904214608668361244792952034826864617657926916047420065936389041737895822118365078045556628444273925387517127854796781556346403714877681766899855392069265439424008711973674701749862626690747296762535803929376233833981046927874558605253696441650390625

lequel est .

En utilisant l'approche approximative de John Smith, avec la correction de continuité, il fait remarquer dans un commentaire ci-dessous:

Assez juste sur l'argent.

John Smith, Étudiant de probabilité / statistique.

Mis à jour le 9 novembre 2015

(presque sans calcul). Utilisez une approximation normale du binôme. Le nombre attendu de garçons est de 260 et l'écart type est approximativement. Nous recherchons donc une probabilité d'approximativement au moins 1 sigma (unilatéral) par rapport à la moyenne et sa probabilité est approximativement par la règle.

Mathématiques et statistiques, Probabilités (statistiques), Statistiques (discipline académique)